Question

如图：AB是半圆的直径，O是圆心，C、D是半圆上的两点，若AB=4，弦AC=CD=1．
（1）求证：OC∥BD；
（2）设∠AOC=α，求sinα的值；
（3）求BD的长．

Answer 1

考点：垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,解直角三角形

专题：

分析：（1）先根据AC=CD=1可得出

AC

=

CD

，故可得出∠AOC=∠ABD，进而可得出结论；
（2）连接AD，OD，AD和CO相交于E，根据AC=CD，AO=DO可知四边形ACDO的对角线AD和CO互相垂直，由勾股定理可知CE²=AC²-AE²，EO²=AO²-AE²，CE+EO=CO=2，根据AB=4，AC=CD=1可得出AE的长，根据锐角三角函数的定义即可得出结论；
（3）根据（2）中AE的长可得出AD的长，△ABD为圆O过直径的内接三角形，再根据勾股定理即可得出BD的长．

解答：解：（1）∵AC=CD=1，
∴

AC

=

CD

，
∴∠AOC=∠ABD，
∴OC∥BD；

（2）连接AD，OD，AD和CO相交于E
∵AC=CD，AO=DO，
∴四边形ACDO的对角线AD和CO互相垂直
∴CE²=AC²-AE²，EO²=AO²-AE²，CE+EO=CO=2，
∵AB=4，AC=CD=1，
∴AE=

15

2

∴sinα=

AE

OA

=

15 2

2

=

15

4

；

（3）∵由（2）知，AE=

15

2

，
∴AD=2AE=

15

，
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是直角三角形，
∴BD²=AB²-AD²，即BD²=4²-（

15

）²，
∴BD=

7

2

．

点评：本题考查的是垂径定理与勾股定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．