Question

14．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D，若S_△OCD=6，则S_△OBD的值为4．

Answer 1

分析 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=$\frac{1}{2}$|k|．

解答 解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，
∴CE∥AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∵△OEC∽△OBA，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$．
∵双曲线的解析式是y=$\frac{k}{x}$，即xy=k
∴S_△BOD=S_△COE=$\frac{1}{2}$|k|，
∴S_△AOB=4S_△COE=2|k|，
由S_△AOB-S_△BOD=S_△AOD=2S_△DOC=12，得2k-$\frac{1}{2}$k=12，
k=8，
S_△BOD=S_△COE=$\frac{1}{2}$k=4．
故答案是：4．

点评 本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．