Question

9．如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=10，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，△AMN的周长为18．
（1）求△ABC的周长；
（2）求∠BOC的度数．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质和角平分线的定义可求得MO=BM，NO=NC，结合△AMN的周长可求得△ABC的周长；
（2）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB，在△OBC中可求得∠BOC．

解答 解：（1）∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠CBO，
∴∠ABO=∠MOB，
∴MO=BM，
同理可得NO=NC，
∵△AMN的周长为18，
∴AM+MN+AN=18，即AM+MO+ON+AN=18，
∴AM+BM+AN+NC=AB+AC=18，
∵BC=10，
∴AB+AC+BC=18+10=28，
即△ABC的周长为28；
（2）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-60°=120°．

点评 本题主要考查等腰三角形的判定和性质，在（1）中求得AB+AC=18是解题的关键，在（2）中求得∠OBC+∠OCB是解题的关键．