Question

10．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC与E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于$\frac{1}{2}$EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）若∠ACD=138°，求∠MAB的度数．
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．

Answer 1

分析 （1）根据AB∥CD，∠ACD=138°，得出∠CAB=42°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．
（2）根据∠CAM=∠MAB，∠MAB=∠CMA，得出∠CAM=∠CMA，再根据CN⊥AD，CN=CN，即可得出△ACN≌△MCN．

解答 （1）解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
又∵∠ACD=138°，
∴∠CAB=42°，
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=21°；
（2）证明：∵AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，
∴∠MAB=∠CMA，
∴∠CAM=∠CMA，
又∵CN⊥AM，
∴∠ANC=∠MNC，
在△ACN和△MCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ANC=∠MNC}\\{∠CAM=∠CMA}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△MCN（AAS）．

点评 此题考查了作图-复杂作图，用到的知识点是全等三角形的判定、平行线的性质、角平分线的性质等，解题的关键是证出∠CAM=∠CMA．