Question

1．如图，等腰△ABC中，AC=AE，CE、BF分别为AB、AC的中线，交于点O．猜想AO与BC有什么关系？并说明理由．

Answer 1

分析 AO垂直平分BC．在△ABC中，AB=AC，E、F是AB、AC的中点，可证△BCF≌△CBE，得OB=OC，又可证△AOB≌△AOC，得AO为三角形ABC的角平分线，即可得出AO垂直平分BC．

解答 解：AO垂直平分BC．
∵CE、BF分别为AB、AC的中线，AC=AB，
∴BE=CF，∠ABC=∠ACB，
在△BCE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠ABC=∠ACB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CBF（SAS），
∴∠ECB=∠FBC，
∴OB=OC，
在△AOB和△AOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{BO=CO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
即AO为等腰△ABC的角平分线，
∴AO垂直平分BC．

点评 本题考查了构成三角形全等的条件以及在等腰三角形中底边上的高和中线及角平分线三线合一的性质．运用两对全等三角形证明AO为等腰△ABC的角平分线是正确解答本题的关键．