先阅读下面一段材料.再完成后面的问题:材料:如图1.过抛物线y=ax2的对称轴上一点作对称轴的垂线l.则抛物线上任意一点P到点F的距离与P到l的距离一定相等.我们将点F与直线l分别称作这条抛物线的焦点和准线．如y=x2的焦点为．问题:若直线y=kx+1交抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$于A.B两点.准线l与y轴交于点K．(1)求证:以AB为直径的圆与准线l相切� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：
材料：如图1，过抛物线y=ax²（a＞0）的对称轴上一点（0，$-\frac{1}{4a}$）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点
P到点F（0，$\frac{1}{4a}$）的距离与P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l分别称作这条抛物线的焦点和准线．如
y=x²的焦点为（0，$\frac{1}{4}$）．
问题：若直线y=kx+1交抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$于A、B两点，准线l与y轴交于点K．
（1）求证：以AB为直径的圆与准线l相切．
（2）当k=0时，作以F为焦点，以AB为直径的圆F，准线l上一点C与圆心F的连线交圆于D、E两点，过点E作准线的垂线，垂足为M，若∠MCE=∠CEK（如图2），求△MCE的面积．

分析（1）先根据题意饿出抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的焦点为F（0，1），由直线y=kx+1过点F（0，1）可设线段A、B的中点为M，过点AMB分别作准线l的垂线，垂足分别为G、N、H，则AG∥MN∥BH，由梯形中位线定理可知，MN=$\frac{1}{2}$（AG+BH），由材料知，AF=AG，BF=BH，根据直径AB=AF+BF=AG+BH可知MN=$\frac{1}{2}$AB=R，即圆心到准线的距离等于半径，由此可得出结论；
（2）根据当k=0可知AB与x轴平行，由F（0，1），可得出AB=4．由（1）知，以AB为直径的圆与准线相切，切点为K，连接DK，则∠EKD=∠FKC=90°，故FE=FK=FD，∠FKC=∠CEK．根据勾股定理可求出EC，EM，MC的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答（1）证明：由题意知，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的焦点为F（0，1），
∵直线y=kx+1过点F（0，1），
设线段A、B的中点为M，过点AMB分别作准线l的垂线，垂足分别为G、N、H，则AG∥MN∥BH，
∴MN=$\frac{1}{2}$（AG+BH），
由材料知，AF=AG，BF=BH，
∴直径AB=AF+BF=AG+BH，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB=R，即圆心到准线的距离等于半径，
∴以AB为直径的圆与准线l相切；

（2）解：如图2，
∵当k=0时，AB与x轴平行，
∵F（0，1），
∴AB=4．
∵由（1）知，以AB为直径的圆与准线相切，切点为K，
连接DK，则∠EKD=∠FKC=90°，
∵FE=FK=FD，
∴∠FKC=∠CEK．
∵∠MCE=∠CEK，∠FCK=30°，
∴FC=4，
∴EC=6，EM=3，MC=3$\sqrt{3}$，
∴S_△MCE=$\frac{1}{2}$MC•ME=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．