Question

13．感知：如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，G在OA上，CF⊥BG交OB于E，垂足为F，则△BOG≌△COE．
探究：在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=$\frac{1}{2}$∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．求PE与BF的数量关系．并结合图2说明理由．
应用：把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=30°，求$\frac{BF}{PE}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．（结果保留根号）

Answer 1

分析 探究：首先过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易证得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM=PE，BF=$\frac{1}{2}$BM．则可求得$\frac{BF}{PE}$的值；
应用：首先过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，由（1）同理可得：BF=$\frac{1}{2}$BM，∠MBN=∠EPN，继而可证得：△BMN∽△PEN，然后由相似三角形的对应边成比例，求得$\frac{BF}{PE}$的值．

解答 解：探究：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠NBP=∠NPB，
∴NB=NP，
∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
在△BMN和△PEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBN=∠NPE}\\{NB=NP}\\{∠MNB=∠PNE=90°}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△PEN（ASA），
∴BM=PE，
∵∠BPE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF，
∵PF⊥BM，
∴∠BFP=∠MFP=90°，
在△BPF和△MPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPF=∠MPF}\\{PF=PF}\\{∠PFB=∠PFM}\end{array}\right.$，
∴△BPF≌△MPF（ASA），
∴BF=MF，
即BF=$\frac{1}{2}$BM，
∴BF=$\frac{1}{2}$PE，
即$\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$；

应用：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BPN=∠ACB=30°，∠PNE=∠BOC=90°，
由探究：同理可得：BF=$\frac{1}{2}$BM，∠MBN=∠EPN，
∵∠BNM=∠PNE=90°，
∴△BMN∽△PEN，
∴$\frac{BM}{PE}=\frac{BN}{PN}$，
在Rt△BNP中，tan30°=$\frac{BN}{PN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{BM}{PE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{2BF}{PE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{BF}{PE}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的定义等知识，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用是解此题的关键．