Question

如图，BE是等腰△ABC的角平分线，∠C=90°，延长BC到D，使CD=CE，连结AD与BE的延长线交于F，求证：AE•AC=2AF²．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：如图，连接CF；首先证明A、B、C、E四点共圆，得到∠AFB=∠ACB=90°，∠BFD+∠ACD=180，进而证明E、F、D、C四点共圆，得到AE•AC=AF•AD；证明AD=2AF，即可解决问题．

解答：证明：连接CF；
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠EBC=∠FAC，
∴A、B、C、E四点共圆，
∴∠AFB=∠ACB=90°，∠BFD+∠ACD=180°，
∴E、F、D、C四点共圆，
∴AE•AC=AF•AD；
在△ABF与△DBF中，

∠ABF=∠DBF BF=BF ∠AFB=∠DFB

，
∴△ABF≌△DBF（ASA），
∴AF=DF，AD=2AF，
∴AE•AC=2AF²．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．