Question

已知：如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB=2α，OC⊥AB于C点．
（1）求弦AB的长及弦心距；
（2）求⊙O的内接正n边形的边长a_n及边心距r_n．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：（1）证明∠AOC=α，AC=BC；根据边角关系证明AC=Rsinα，OC=Rcosα，问题即可解决．
（2）求出α=

180°

n

，借助（1）中的结论，即可解决问题．

解答：解：（1）∵OA=OB，OC⊥AB，∠AOB=2α，
∴∠AOC=α，AC=BC；
∵sinα=

AC

OA

，cosα=

OC

OA

，
∴AC=Rsinα，OC=Rcosα，
∴弦AB的长=2Rsinα，弦心距=Rcosα．
（2）如图，设AB、OC分别为⊙O的内接正n边形的边长a_n及边心距r_n，
则∠AOB=

360°

．n

，即2α=

360°

n

，
∴α=

180°

n

，
∴an=2Rsin

180°

n

，rn=Rcos

180°

n

．

点评：该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断；对求解运算能力、推理论证能力等均提出了一定的要求．