Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，求证：以CD为直径的圆与AB相切．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：首先过点O作OE⊥AB于点E，易得OE是梯形ABCD的中位线，又由AD+BC=CD，即可得OC=OD=OE，则可判定AB与⊙O相切．

解答：证明：如图，取CD的中点O，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=90°，
即DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD∥OE∥BC，
∴OE是梯形ABCD的中位线，
∴OE=

1

2

（AD+BC），
∵AD=1，BC=3，CD=4，
∴OE=2，OC=OD=

1

2

CD=2，
∴OC=OD=OE，
∴AB与⊙O相切．

点评：此题考查了切线的判定、梯形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．