Question

16．如图1，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记$\frac{a}{h}$=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．
（1）若变形后的菱形有一个内角是45°，则k=$\sqrt{2}$．
（2）如图2，已知菱形ABCD，若k=$\frac{3}{2}$．
①这个菱形形变前的面积与形变后的面积之比为3：2；
②点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，求四边形EFGH形变前与形变后的面积之比．
（3）如图3，正方形ABCD由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形A′B′C′D′，△AEF（E、F是小正方形的顶点），同时形变为△A′E′F′，设这个菱形的“形变度”为k．
①对于△AEF与△A′E′F′的面积之比你有何猜想？并证明你的猜想．
②当△AEF与△A′E′F′的面积之比等于4：$\sqrt{7}$时，请求出A′C′的长．

Answer 1

分析 （1）构成45°的直角三角形，利用45°的正弦列式求出k的值；
（2）①由k的值得$\frac{a}{h}$=$\frac{3}{2}$，将面积相比并约分可得出结论；
②先表示出形变前四边形EFGH形面积为$\frac{1}{2}{a}^{2}$，再根据中位线定理表示出形变后四边形EFGH的面积，相比即可，发现比值不变；
（3）①作辅助线构建直角三角形，猜想：△AEF与△A′E′F′的面积之比是k，根据$\frac{A′B′}{D′G}$=k，分别计算△AEF与△A′E′F′的面积，并相比即可；
②利用①的结论，则k=$\frac{4}{\sqrt{7}}$，利用勾股定理求出B′H和A′C′即可．

解答 解：（1）如图1，∵∠B=45°，
∴sin∠B=$\frac{h}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴k=$\frac{a}{h}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
故答案为：$\sqrt{2}$；
（2）①如图2，∵k=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{a}{h}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{S}_{正方形}}{{S}_{菱形}}$=$\frac{{a}^{2}}{ah}$=$\frac{a}{h}$=$\frac{3}{2}$，
故答案为：3：2；
②如图3，连接AC、BD，
∵点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，
∴四边形EFGH形变前面积为$\frac{1}{2}{a}^{2}$，
∵EH是△ABD的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，同理EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵四边形EFGH是矩形，
∴S_矩形EFGH=EH•EF=$\frac{1}{2}$BD•$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$ah，
∴四边形EFGH形变前与形变后的面积之比为：$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}}{\frac{1}{2}ah}$=$\frac{a}{h}$=$\frac{3}{2}$；
（3）①如图4，猜想：△AEF与△A′E′F′的面积之比是k，
理由是：设A′D′的中点为H，过D′作D′G⊥A′B′，交B′A′的延长线于G，则$\frac{A′B′}{D′G}$=k，
∵A′B′=B′C′=C′D′=D′A′=4，
∴D′G=$\frac{4}{k}$，
∴S_{?A′B′C′D′}=A′B′•D′G′=4×$\frac{4}{k}$=$\frac{16}{k}$，
∴S_{△A′E′F′}=S_△A′HF′=$\frac{1}{4}$S_{?A′B′C′D′}，
∴S_{△A′E′F′}=$\frac{1}{4}$•$\frac{16}{k}$=$\frac{4}{k}$，
S_△AEF=12-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×2×3=4，
∴△AEF与△A′E′F′的面积之比为：$\frac{4}{\frac{4}{k}}$=k；
②如图5，当△AEF与△A′E′F′的面积之比等于4：$\sqrt{7}$时，则k=$\frac{4}{\sqrt{7}}$，
过A′作A′H⊥B′C′于H，
∴$\frac{A′B′}{A′H}=\frac{4}{\sqrt{7}}$，
∵A′B′=4，
∴A′H=$\sqrt{7}$，
∴B′H=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{7}）^{2}}$=3，
∴HC′=4-3=1，
由勾股定理得：A′C′=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}+{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题四边形的综合题，考查了正方形、菱形的性质，正方形的面积和菱形的面积的求法，及格点三角形的面积，还利用了同底等高的三角形的面积相等；同时还训练了学生的阅读理解能力，及对新定义的理解和运用．