Question

2．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC²=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=5，AB=8，求$\frac{AC}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，根据平行线的判定定理证明即可；
（3）证明△AFD∽△CFE，根据相似三角形的性质定理列出比例式，解答即可．

解答 （1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AB•AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE=BE=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=AB，
∴CE=×8=4，
∵AD=5，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．