Question

11．已知关于x的一元二次方程x²-（m-2）x+$\frac{1}{2}$m-3=0
（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x₁，x₂，且2x₁+x₂=m+1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式△=（m-3）²+3＞0，即可得到结果；
（2）根据根与系数的关系，把两根之和代入满足的等式，得到x₁，再把x₁代入方程可以求出m的值．

解答 解：（1）∵△=（m-2）²-4×（$\frac{1}{2}$m-3）=（m-3）²+3＞0，
∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x₁+x₂=m-2，
2x₁+x₂=x₁+（x₁+x₂）=m+1，
∴x₁=m+1+2-m=3，
把x₁代入方程有：
9-3（m-2）+$\frac{1}{2}$m-3=0
解得m=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．