Question

6．在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE=CD，点F为DE边上一点，连接AF，作FG⊥AF交直线DC于点G
（1）如图1，连接AG，若DF=EF时，判断△AFG的形状，并证明你的结论．
（2）如图2，若DF≠EF时．试探究线段AD，DF，DG三者之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先判断出，∠ADF=∠GCF，进而得出，△ADF≌△GCF即可得出结论；
（2）构造全等三角形，同（1）的方法判断出，△ADF≌△GHF，再出AD=HG最后用等量代换即可．

解答 解：（1）等腰直角三角形，理由如下：
如图1，连接CF，
在Rt△CDE中，CE=CD，DF=EF，
∴CF=DF=EF，∠ECF=∠CDE=45°，
∴∠ADF=∠ADC+∠CDF=135°，∠FCG=∠GCE+∠ECF=135°，
∴∠ADF=∠GCF，
∵AF⊥FG，HF⊥DE，
∴∠AFG=∠DFH=90，
∴∠AFD=∠GFH
在△ADF和△GCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠CGF}\\{∠AFD=∠GFC}\\{DF=FC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF（AAS），
∴AF=FG，
∵∠AFG=90°，
∴△AFG是等腰直角三角形．

（2）DG=AD+$\sqrt{2}$DF；
理由：如图2，过点F作FH⊥DE，
由（1）知，∠CDE=45°，
∴DH=$\sqrt{2}$DF，DF=HF，∠DHF=45°，
同（1）的方法得出∠ADF=∠GHF
在△ADF和△GHF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠HGF}\\{∠ADF=∠GHF}\\{DF=HF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GHF（AAS），
∴AD=HG，
∴DG=DH+HG=$\sqrt{2}$DF+AD．

点评 主要考查了正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是，△ADF≌△GHF．