Question

17．在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r（r＞0）的⊙O和点P，给出如下定义：
若r≤PO≤$\frac{3}{2}$r，则称P为⊙O的“近外点”．?

（1）当⊙O的半径为2时，点A（4，0），B （-$\frac{5}{2}$，0），C（0，3），D （1，-1）中，⊙O的“近外点”是B，C；
（2）若点E（3，4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；
（3）当⊙O 的半径为2时，直线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出$\frac{3}{2}$r=3，再分别求出OA，OB，OC，OD，再判断即可得出结论；
（2）先求出OE，用圆的“近外点”满足的条件建立不等式组求解即可；
（3）先判断出直线MN中OM＞ON，进而得出点M和点G是圆O的“近外点”的分界点，再分两种情况讨论计算．

解答 解：（1）∵⊙O的半径为2，
∴$\frac{3}{2}$r=3，
∵A（4，0），
∴OA=4＞3，
∴点A不是⊙O的“近外点”，
B （-$\frac{5}{2}$，0），
∴OB=$\frac{5}{2}$，而2＜$\frac{5}{2}$＜3，
∴B是⊙O的“近外点”，
C（0，3），
∴OC=3，
∴点C是⊙O的“近外点”，
D （1，-1），
∴OD=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$＜2，
∴点D不是⊙O的“近外点”，
故答案为：B，C；
（2）∵E（3，4），
∴OE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵点E是⊙O的“近外点”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{r≤5}\\{\frac{3}{2}r≥5}\end{array}\right.$，
∴$\frac{10}{3}$≤r≤5；

（3）如图，
∵直线MN的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∴OM＞ON，
①点N在y轴坐标轴时，
当点M是⊙O的“近外点”，此时，点M（-2，0），
将M（-2，0）代入直线MN的解析式y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b中，解得，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即：b的最小值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
过点O作OG⊥M'N'于G，
当点G是⊙O的“近外点”时，此时OG=3，
在Rt△ON'G中，∠ON'G=60°，
∴ON'=$\frac{OC}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，
b的最大值为2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤b≤2$\sqrt{3}$，
②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出，-2$\sqrt{3}$≤b≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}≤b≤2\sqrt{3}或-2\sqrt{3}≤b≤-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了新定义，点到原点的距离的确定，解（2）的关键是利用圆O的“近外点”建立不等式组，解（3）的关键是找出线段MN上的点是圆O的“近外点”的分界点，是一道中等难度的题目．