Question

14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为P，BP：PA=1：3，CD=2$\sqrt{3}$．
（1）求⊙O的半径；
（2）以CD为边作正方形CDEF，以C为圆心，CF的长为半径画弧交CB的延长线于点M，CB的延长线交DE于点N．
①求阴影部分的面积；
②连接OD，请猜想四边形OBND的形状，并证明你的猜想；
③若正方形CDEF绕着点O旋转一周，求边EF扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）先设出BP=x，进而表示出OP=x，在Rt△OPD中，利用勾股定理求出x即可得出结论；
（2）①先利用锐角三角函数求出∠PCB=30°，进而得出∠NCF=60°，再用扇形的面积公式即可；
②先判断出OB∥DN，再利用三角形的中位线判断出OB=DN，得出四边形OBND是平行四边形，最后用半径相等得出四边形OBND是菱形；
③先判断出EF扫过的面积是圆环的面积，即可得出结论．

解答 解：（1）设BP=x，
∵BP：AP=1：3，
∴AP=3x，
∴AB=AP+BP=4x，
∴OD=OB=2x，
∴OP=OB-PB=x，
∵CD⊥AB，
∴CP=DP=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
在Rt△OPD中，根据勾股定理得，OP²+DP²=OD²，
∴x²+3=（2x）²，
∴x=-1（舍）或x=1，
∴⊙O的半径为$\frac{1}{2}$AB=2；

（2）①由（1）知PB=x=1，CP=$\sqrt{3}$，
在Rt△BPC中，tan∠PCB=$\frac{PB}{PC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PCB=30°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CF=CD=2$\sqrt{3}$，∠DCF=90°，
∴∠NCF=90°-30°=60°，
∴S_阴影部分=S_扇形NCF=$\frac{60π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=2π；

②四边形OBND是菱形，
理由：∵四边形CDEF是正方形，
∴∠CDE=90°=∠CPB，
∴OB∥DN，
由（1）知，CP=DP，
∴DN=2PB=OB，
∴四边形OBND是平行四边形，
∵OB=OD，
∴?OBND是菱形；

③如图，

连接OF，延长AB交正方形的边EF于G，则OG⊥EF，
∴FG=PC=$\sqrt{3}$，
在Rt△OGF中，OF²=OG²+FG²，
∴OF²-OG²=FG²=3
∴正方形CDEF绕点O旋转一周，边EF扫过的面积=S阴影部分的圆环=π•OF²-π•OG²=π（OF²-OG²）=πFG²=3π．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的性质，三角形的中位线的性质，解（1）的关键是求出x的值，解（2）①的关键是求出∠PCB=30°，解（2）②的关键是判断出四边形OBND是平行四边形，解（2）③的关键是判断出EF扫过的图形是以O为圆心OF和OG为半径的圆环，是一道中等难度的题目．