Question

1．如图，将△OAB放在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，4），点B（6，0）在边OB上有一动点P，过P作PC∥OA交AB于C，连接AP．
（Ⅰ）求△OAB的面积；
（Ⅱ）若设OP=x，△APC的面积为y，试用含x的式子表示y；
（Ⅲ）若有满足S_△APC=$\frac{1}{m}$S_△OAB的点P存在，求当m取得最小值时，点P的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析 （1）先确定出AD和OB的长，最后用三角形的面积公式即可；
（2）先设出C的坐标，进而表示出BC，再用相似三角形的性质即可得出CE，最后用三角形的面积的差即可得出结论；
（3）借助（1）（2）得出结论，先确定出y的最大值，即可判断出m的最小值，进而求出点P的坐标．

解答 解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，
∵A（2，4），
∴AD=4，
∵B（6，0），
∴OB=6，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OB×AD=$\frac{1}{2}$×6×4=12，

（2）如图2，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴，
∵A（2，4），B（6，0），
∴直线AB的解析式为y=-x+6，
设C（a，-a+6）（0＜a＜6），
在Rt△ABD中，AD=4，BD=OB-OD=6-2=4，
∴tan∠OBA=$\frac{AD}{BD}$=1，
在Rt△BCE中，tan∠OBA=$\frac{CE}{BE}$=1，
∴BE=CE=-a+6，
∴BC=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$（-a+6），
∵A（2，4），B（6，0），
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∵PC∥OA，
∴△BPC∽△BOA，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BP}{OB}$，
∵OP=x，OB=6，
∴BP=6-x，
∴$\frac{\sqrt{2}（-a+6）}{4\sqrt{2}}=\frac{6-x}{6}$，
∴a=2+$\frac{2}{3}$x，
∴CE=-a+6=-2-$\frac{2}{3}$x+6=4-$\frac{2}{3}$x，
∴y=S_△ACP=S_△OAB-S_△OAP-S_△BPC=12-$\frac{1}{2}$x×4-$\frac{1}{2}$（6-x）×（4-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{1}{3}$x²+2x（0＜x＜6），

（3）由（2）知，S_△ACP=y=-$\frac{1}{3}$x²+2x=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+3，
当x=3时，y最大=3
由（1）知，S_△AOB=12，
∵S_△APC=$\frac{1}{m}$S_△OAB，
∴$\frac{12}{m}$的最大值为3，
∴m的最小值为4，
∴m最小时，P（3，0）．

点评 此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的面积公式，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，解（2）的关键是确定出△PBC的边BP上的高，是一道基础题目．