Question

如图，矩形ABCD，过对角线BD的中点O作BD的垂线交AD于E，交BC于F，连结EB、DF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若AD=3，AB=

3

，求AE的长．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）首先证明△EDO≌△FBO，则EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明四边形DEBF是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判断；
（2）设AE=x，则BE=DE=3-x，在Rt△AEB中，根据勾股定理BE²=AE²+AB²，即可列方程求解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBF，∠DEF=∠BFE，
在△EDO和△FBO中，

∠EDB=∠DBF ∠DEF=∠BFE DO=BO

∴△EDO≌△FBO（AAS），
∴EO=FO，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥EF，
∴平行四边形DEBF是菱形；

（2）解：设AE=x，则BE=DE=3-x，而AB=

3

，
在Rt△AEB中，根据勾股定理BE²=AE²+AB²，
∴（3-x）²=x²+（

3

）²，
解得：x=1，
∴AE=1．

点评：本题考查了平行四边形的性质，以及菱形的判定方法，以及勾股定理的应用，正确掌握菱形的判定定理是关键．