如图.在边长为4的正方形ABCD中.P是BC边上一动点.将△ABP沿直线AP翻折.点B落在点E处,在CD上有一点M.使得将△CMP沿直线MP翻折后.点C落在直线PE上的点F处.直线PE交CD于点N.连接MA.NA．则以下结论中正确的有①②⑤(写出所有正确结论的序号)①△CMP∽△BPA,②四边形AMCB的面积最大值为10,③当P为BC中点时.AE为线段NP的中垂线,④线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有①②⑤（写出所有正确结论的序号）
①△CMP∽△BPA；
②四边形AMCB的面积最大值为10；
③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
④线段AM的最小值为2$\sqrt{5}$；
⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4$\sqrt{2}$-4．

分析 ①正确，只要证明∠APM=90°即可解决问题．
②正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可．
③错误，设ND=NE=y，在RT△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．
④错误，作MG⊥AB于G，因为AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{16+A{G}^{2}}$，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为5．
⑤正确，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，列出方程即可解决问题．

解答解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正确，
设PB=x，则CP=4-x，
∵△CMP∽△BPA，
∴$\frac{PB}{CM}$=$\frac{AB}{PC}$，
∴CM=$\frac{1}{4}$x（4-x），
∴S_{四边形AMCB}=$\frac{1}{2}$[4+$\frac{1}{4}$x（4-x）]×4=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+10，
∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，
当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y，
在RT△PCN中，（y+2）²=（4-y）²+2²解得y=$\frac{4}{3}$，
∴NE≠EP，故③错误，
作MG⊥AB于G，
∵AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{16+A{G}^{2}}$，
∴AG最小时AM最小，
∵AG=AB-BG=AB-CM=4-$\frac{1}{4}$x（4-x）=$\frac{1}{4}$（x-2）²+3，
∴x=2时，AG最小值=3，
∴AM的最小值=$\sqrt{16+9}$=5，故④错误．
∵△ABP≌△ADN时，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK=$\sqrt{2}$z，
∴z+$\sqrt{2}$z=4，
∴z=4$\sqrt{2}$-4，
∴PB=4$\sqrt{2}$-4，故⑤正确．
故答案为①②⑤．