Question

2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=2，将AB所在的直线绕点A旋转45°，交直线BC于D，则DB的长度为$\frac{29}{7}$或$\frac{29}{3}$．

Answer 1

分析 ①如图1，由旋转的性质得到∠DAE=45°，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$，过D作DE⊥AB于E，设AE=DE=x，得到BE=$\sqrt{29}$-x，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}$，即$\frac{x}{5}=\frac{\sqrt{29}-x}{2}$，求得DE=$\frac{5\sqrt{29}}{7}$，BE=$\frac{2\sqrt{29}}{7}$，根据勾股定理得到结论；
②如图2，由旋转的性质得到∠DAE=45°根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$，过D作DE⊥AB于E，设AE=DE=x，得到BE=x-$\sqrt{29}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}$，即$\frac{x-\sqrt{29}}{2}=\frac{x}{5}$，求得DE=$\frac{5\sqrt{29}}{3}$，BE=$\frac{2\sqrt{29}}{3}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：①如图1，将AB所在的直线绕点A顺时针旋转45°，
则∠DAE=45°，
∵∠ACB=90°，AC=5，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
过D作DE⊥AB于E，
∴AE=DE，
设AE=DE=x，
∴BE=$\sqrt{29}$-x，
∵∠ACB=∠DEB=90°，∠B=∠B，
∴△DEB∽△ACB，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}$，即$\frac{x}{5}=\frac{\sqrt{29}-x}{2}$，
∴x=$\frac{5\sqrt{29}}{7}$，
∴DE=$\frac{5\sqrt{29}}{7}$，BE=$\frac{2\sqrt{29}}{7}$，
∴BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{29}{7}$；
②如图2，将AB所在的直线绕点A逆时针旋转45°，
则∠DAE=45°，
∵∠ACB=90°，AC=5，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
过D作DE⊥AB于E，
∴AE=DE，
设AE=DE=x，
∴BE=x-$\sqrt{29}$，
∵∠ACB=∠DEB=90°，∠ABC=∠DBE，
∴△DEB∽△ACB，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}$，即$\frac{x-\sqrt{29}}{2}=\frac{x}{5}$，
∴x=$\frac{5\sqrt{29}}{3}$，
∴DE=$\frac{5\sqrt{29}}{3}$，BE=$\frac{2\sqrt{29}}{3}$，
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{29}{3}$．
综上所述：DB的长度为$\frac{29}{7}$或$\frac{29}{3}$，
故答案为：$\frac{29}{7}$或$\frac{29}{3}$．

点评 本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键．