Question

19．已知二次函数y=a（x²-4x-5），a≠0，下列说法：
①图象始终与x轴有两个交点；
②图象的对称轴是直线x=2；
③图象在x轴上截得的线段长为6；
④若a＜0，则当-1＜x＜5时，y＞0；
其中，正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 将y=0代入y=a（x²-4x-5）（a≠0），解方程a（x²-4x-5）=0，求出x₁=-1，x₂=5，即可判断①；
根据二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=-$\frac{b}{2a}$即可判断②；
由二次函数y=a（x²-4x-5）与x轴交点为（-1，0），（5，0），求出图象在x轴上截得的线段长，即可判断③；
由a＜0，得出抛物线y=a（x²-4x-5）开口向下，根据二次函数的性质可知当-1＜x＜5时，y＞0，即可判断④．

解答 解：①∵y=a（x²-4x-5），a≠0，
∴当y=0时，a（x²-4x-5）=0，
解得x₁=-1，x₂=5，
∴图象始终与x轴有两个交点，故说法正确；
②图象的对称轴是直线x=$\frac{4a}{2a}$=2，故说法正确；
③∵二次函数y=a（x²-4x-5）与x轴交点为（-1，0），（5，0），
∴图象在x轴上截得的线段长为：5-（-1）=6，故说法正确；
④若a＜0，则抛物线y=a（x²-4x-5）开口向下，
∴当-1＜x＜5时，y＞0，故说法正确；
所以正确的命题为①②③④．
故选D．

点评 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），对称轴是直线x=-$\frac{b}{2a}$．当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；x＞-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；x=-$\frac{b}{2a}$时，y取得最小值$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；x＞-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；x=-$\frac{b}{2a}$时，y取得最大值$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，即顶点是抛物线的最高点．