Question

7．若把一组邻边的平方和与一条对角线的平方相等的四边形叫做勾股四边形，则矩形、直角梯形都是勾股四边形．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，且∠BCD=30°．
（1）求证：四边形ABCD是勾股四边形；
（2）若BC=6，CD=8，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明DC²+BC²=AC²，只需证明∠DCE=90°．
（2）由DC²+BC²=AC²，求出AC，即可得出DE的长．

解答 （1）证明：由旋转的性质得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC=BE，即△BCE是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
即四边形ABCD是勾股四边形．
（2）解：由（1）得：DC²+BC²=AC²，DE=AC，
∴DE=AC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．

点评 本题考查了勾股定理、旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握旋转的性质，证明∠DCE=90°是解决问题的关键．