Question

2．如图，某测量员测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：$\sqrt{3}$（即AB：BC=1：$\sqrt{3}$），且B、C、E三点在同一条直线上．
（1）求斜坡AC的长；
（2）请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．

Answer 1

分析 过点A作AF⊥DE于F，可得四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△DCE和Rt△ABC中分别表示出CE，BC的长度，求出DF的长度，然后在Rt△ADF中表示出AF的长度，根据AF=BE，代入解方程求出x的值即可．

解答 解：（1）如图，过点A作AF⊥DE于F，
则四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3米，
设DE=x，
在Rt△CDE中，CE=$\frac{DE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△ABC中，
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，AB=3，
∴BC=3$\sqrt{3}$，
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6（米）．
（2）在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-3，
∴AF=$\frac{x-3}{tan30°}$=$\sqrt{3}$（x-3），
∵AF=BE=BC+CE，
∴$\sqrt{3}$（x-3）=3$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
解得x=9．
答：树高为9米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．