Question

13．已知：△CDO≌△ABO，其中C与A，D与B对应，在△CDO绕点O旋转过程中，连接AC和BD，设直线AC与BD的交点为P．
（1）如图1，若△ABO是等边三角形，请探究并猜想：
线段AC与BD的数量关系为AC=BD，∠APB的度数为60°；
（2）如图2，若△ABO是直角三角形，且∠AOB=90°，OA=2，OB=3，设线段AC=kBD，求证：AC⊥BD，并求出k的值；
（3）如图3，若△ABO是锐角三角形，且∠AOB=65°，OA=2，OB=3，延长BO至点E，使OE=OB，连接DE，设线段AC=kBD．
①直接写出k的值和∠APB的度数；
②求AC²+（kDE）²的值．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质得到AO=BO=OD=OC，∠AOB=∠COD=60°，根据全等三角形的性质得到∠OAC=∠OBD，推出A，B，O，D四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到OC=OA，OD=OB，∠AOB=∠COD，由相似三角形的性质得到∠OAC=∠OBD根据余角的性质得到AD⊥BD根据相似三角形的性质得到k=$\frac{2}{3}$；
（3）①根据全等三角形的性质得到OC=OA，OD=OB，∠AOB=∠COD，根据相似三角形的性质得到k=$\frac{2}{3}$；②由已知得到O是BE的中点，根据全等三角形的性质得到OD=OB=$\frac{1}{2}$BE，由圆周角定理得到∠BDE=90°根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵△CDO≌△ABO，△ABO是等边三角形，
∴AO=BO=OD=OC，∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC与△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∴A，B，O，D四点共圆，
∴∠APB=∠AOB=60°，
故答案为：AC=BD，60°；

（2）∵△CDO≌△ABO，
∴OC=OA，OD=OB，∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
∴$\frac{OC}{OD}=\frac{OA}{OB}$，
∴△AOC∽△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∵∠AOB=90°，
∴∠OBD+∠ABP+∠OAB=90°，
∴∠OAC+∠ABP+∠OAB=90°，
∴∠APB=90°，
∴AD⊥BD，
∵△AOC∽△BOD，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{3}$，
∵AC=kBD，
∴k=$\frac{2}{3}$；

（3）①∵△CDO≌△ABO，
∴OC=OA，OD=OB，∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
∴$\frac{OC}{OD}=\frac{OA}{OB}$，
∴△AOC∽△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∴A，B，O，D四点共圆，
∴∠APB=∠AOB=65°，
∵△AOC∽△BOD，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{3}$，
∵AC=kBD，
∴k=$\frac{2}{3}$；
②∵延长BO至点E，使OE=OB，
∴O是BE的中点，
∵△CDO≌△ABO，
∴OD=OB=$\frac{1}{2}$BE，
∴点D在以O为圆心，BE为直径的圆上，
∴∠BDE=90°，
∴BD²+DE²=BE²=6²=36，
∴AC²+（kDE）²=（kBD）²+（kDE）²=k²（BD²+DE²）=（$\frac{2}{3}$）²×36=16．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．