Question

3．如图，E、F、G、H分别是凸四边形ABCD的四边的中点，顺次连接E、F、G、H这四点围成四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．
（2）要使四边形EFGH成为菱形，则AC与BD之间应满足的数量关系是AC=BD．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位线定理得出HE∥AC，HE=$\frac{1}{2}$AC，GF∥AC，GF=$\frac{1}{2}$AC，因此HE=GF且HE∥GF；即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出EF=HE，由（1）得：HE=$\frac{1}{2}$AC，同理：EF=$\frac{1}{2}$BD，因此AC=BC．

解答 （1）证明：如图1所示，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HE∥AC，HE=$\frac{1}{2}$AC，GF∥AC，GF=$\frac{1}{2}$AC，
∴HE=GF且HE∥GF；
∴四边形EFGH是平行四边形． 
（2）解：连接BD，如图2所示：
若四边形EFGH成为菱形，
则EF=HE，
由（1）得：HE=$\frac{1}{2}$AC，
同理：EF=$\frac{1}{2}$BD，
∴AC=BC；
故答案为：AC=BD．

点评 本题考查了平行四边形的判定、中点四边形、菱形的性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．