Question

1．如图，二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点，连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，直接写出△BDE的面积．

Answer 1

分析 （1）把A（2，0），B（8，6）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先把（1）中的解析式配成顶点式即可得到顶点坐标，然后利用抛物线对称性确定D点坐标；
（3）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再利用解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x-6}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+6}\end{array}\right.$得E点坐标，然后利用S_△BDE=S_△BDC+S_△EDC进行计算即可．

解答 解：（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×4+2b+c=0}\\{\frac{1}{2}×64+8b+c=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
所以二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6；
（2）y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6=$\frac{1}{2}$（x-4）²-2，
所以二次函数图象的顶点坐标为（4，-2），
由于抛物线的对称轴为直线x=4，而A（2，0），
所以D点坐标为（6，0）；
（3）C（4，0），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（8，6），C（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{8m+n=6}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-6，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x-6}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=6}\end{array}\right.$，
所以E点坐标为（3，-$\frac{3}{2}$），
所以S_△BDE=S_△BDC+S_△EDC=$\frac{1}{2}$×（6-4）×6+$\frac{1}{2}$×（6-4）×$\frac{3}{2}$=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质和三角形面积公式．