Question

20．如图，四边形ABCD中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8，BC=CD=6，点E是AB上一点，过点E作EG∥BC，EF∥DC，分别交CD，BC于点G，F．
（1）试判断四边形EFCG的形状并加以证明；
（2）四边形EFCG可以是正方形吗？若可以，请在图2中画出正方形EFCG，并简要说明画图方法，若不可以，请说明理由；
（3）当BE的长为多少时，四边形EFCG的面积最大？

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出∠CGE=90°，同理：∠CFE=90°，进而得出四边形EFCG是矩形；
（2）根据矩形的性质和正方形的性质即可画出图形；
（3）先判断出四边形EFCG面积最大时，此四边形为正方形，进而用含30°的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可．

解答 解：（1）∵EG∥BC，
∴∠C+∠CGE=180°，
∵∠C=90°，
∴∠CGE=90°，
同理：∠CFE=90°，
∴∠CGE=∠CFE=∠C=90°，
∴四边形EFCG是矩形，
（2）四边形EFCG可以是正方形，
理由：如图，先作出∠BCD的平分线，与AB相交于点E，再过点E作EF⊥BC，EG⊥CD，得出的四边形EFCG是正方形，
证明：∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠CFE=∠CGE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠CGE=∠CFE=∠C=90°，
∴四边形EFCG是矩形，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°，
∴∠CEF=∠BCE=45°，
∴CF=EF，
∵四边形EFCG是矩形，
∴矩形EFCG是正方形．
（3）∵S_矩形EFCG=$\frac{1}{2}$CF×CG，
∴当CF=CG时，矩形EFCG的面积最大，
如图，在Rt△BEF中，∠B=60°，
∴BE=2BF，EF=$\sqrt{3}$BF，
在Rt△CEF中，∠ECF=45°，
∴CF=EF=$\sqrt{3}$BF，
∵BC=BF+CF=BF+$\sqrt{3}$BF=6，
∴BF=3（$\sqrt{3}$-1），
∴BE=2BF=6（$\sqrt{3}$-1）．
即：BE=6（$\sqrt{3}$-1）时，四边形EFCG的面积最大．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，正方形的性质和判定，基本作图，解本题的关键是画出图形，是一道中等难度的中考常考题．