Question

9．以⊙O的弦AB为边作等边△ABC，D是⊙O上一点，且$\widehat{BD}$=$\widehat{AB}$，连DC交⊙O于E
（1）如图1，当C在⊙O内，求证：AE=CE；
（2）如图2，当C在⊙O外时（1）的结论是否还成立？证明你的结论；
（3）如图2，若CE=3，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）欲证明EA=EC，只要证明∠EAC=∠ECA，由∠ECA=180°-60°-∠DCB=120°-∠DCB，∠EAC=180°-60°-∠D=120°-∠D，可以得到证明．
（2）结论不变，由∠EAC+∠EAB=60°，∠ECA+∠BCE=60°，推出∠EAC=∠ECA，推出EA=EC，即可．
（3）如图3中，连接BE、OA、OE．只要证明△OAE是等边三角形即可．

解答 （1）证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠CAB=60°，AB=BC，
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{AB}$，
∴AB=BD=BC，
∴∠BCD=∠D，
∵∠EAB+∠D=180°，∠ECA+∠ACB+∠DCB=180°，
∴∠EAC+∠CAB+∠D=180°，
∴∠ECA=180°-60°-∠DCB=120°-∠DCB，
∠EAC=180°-60°-∠D=120°-∠D，
∴∠EAC=∠ECA，
∴EA=EC．

（2）解：如图2中，结论仍然成立，EA=EC．理由如下：

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠CAB=60°，AB=BC，
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{AB}$，
∴AB=BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE，
∵∠EAC+∠EAB=60°，∠ECA+∠BCE=60°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴EA=EC．

（3）解：如图3中，连接BE、OA、OE．

∵EA=EC，BA=BC，
∴BE垂直平分CA，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
∴∠AOE=2∠ABE=60°，
∵OA=OE，
∴△OAE是等边三角形，
∴OA=AE=EC=3，
∴⊙O的半径为3．

点评 本题考查圆综合题、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、圆内接四边形对角互补等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．