Question

8．如图，正方形ABCD中，E、F两点分别在BC、CD上，BE+DF=EF．求证：
（1）∠EAF=45°；
（2）FA平分∠DFE．

Answer 1

分析 （1）延长CB至G，使BG=FD，连接AG，如图1，利用“SAS”证明△ABG≌△ADF，得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，而EF=BE+DF，所以EF=EG，再根据“SSS”证明△AEG≌△AEF，得到∠EAG=∠EAF，则∠EAF=∠DAF+∠ABE，然后利用∠EAF+∠DAF+∠ABE=90°，即可得到∠EAF=45°；
（2）根据全等三角形的性质得到∠G=∠AFD，∠G=∠AFE，等量代换得到∠AFE=∠AFD，即可得到结论．

解答 证明：（1）延长CB至G，使BG=FD，连接AG，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
在△ABG和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠D}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
∵EF=BE+DF，
∴EF=EG，
在△AEG和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AG=AF}\\{GE=EF}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AEF（SSS），
∴∠EAG=∠EAF，
∵∠BAG=∠DAF，
∴∠EAF=∠DAF+∠ABE，
∵∠EAF+∠DAF+∠ABE=90°，
∴∠EAF=45°；

（2）∵△ABG≌△ADF，
∴∠G=∠AFD，
∵△AEG≌△AEF，
∴∠G=∠AFE，
∴∠AFE=∠AFD，
∴FA平分∠DFE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．