Question

10．a，b，c不全为0，满足a+b+c=0，a³+b³+c³=0，称使得aⁿ+bⁿ+cⁿ=0恒成立的正整数n为“好数”，则不超过2007的正整数中“好数”的个数为（　　）

• A． 2
• B． 1004
• C． 2006
• D． 2007

Answer 1

分析 首先得到a³+b³+c³=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）+3abc，根据a+b+c=0，a³+b³+c³=0得到3abc=0，从而根据a、b、c不全为零得到a、b、c中只有一个数为零，最终确定奇数满足条件，从而确定前2007个整数中奇数的个数即可确定好数的个数．

解答 解：a³+b³+c³=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）+3abc
∵a+b+c=0，a³+b³+c³=0，
∴3abc=0，
∵a、b、c不全为零，
∴a、b、c中只有一个数为零，
不妨设c=0，从而a=-b，
∴此aⁿ+bⁿ+cⁿ=0恒成立即（-b）ⁿ+bⁿ=0恒成立，
∴显然满足条件的正整数n为奇数，
即不超过2007的正整数中“好数”有1、3、5、…、2007共1004个，
故选B．

点评 本题考查了整数问题的综合运用，解题的关键是能够根据题意确定所有的奇数满足条件，难度中等．