Question

20．如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A-B-C运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？
（2）当t为何值时，△APD是等腰三角形？
（3）当t为何值时，（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边？

Answer 1

分析 （1）分为两种情况：P在BC上，P在DC上，根据勾股定理得出关于t的方程，求出即可；
（2）分AD=DP，DP=AP，AD=AP三种情况进行讨论；
（3）求出BP=2t-4，CP=10-2t，根据AP²=AB²+BP²=4²+（2t-4）²和AD²+CP²=AP²得出方程6²+（10-2t）²=4²+（2t-4）²，求出方程的解即可．

解答 解：（1）如图1，若点P在BC上，
∵在Rt△ABP中，AP=5，AB=4
∴BP=2t-4=3，
∴t=$\frac{7}{2}$；
如图2，若点P在DC上，
则在Rt△ADP中，AP是斜边，
∵AD=6，
∴AP＞6，
∴AP≠5．
综上所述，当t=$\frac{7}{2}$秒时，点P与点A的距离为5cm；
由于沿矩形的边A-B-C运动，此种情况不存在；

（2）当AD=DP时，如图3，PC=（10-2t）cm，CD=4cm，DP=6cm，
∵CD²+PC²=DP²，即4²+（10-2t）²=6²，解得t=5±$\sqrt{5}$，即t₁=5+$\sqrt{5}$，t₂=5-$\sqrt{5}$；
当DP=AP时，如图4，PC=PB=3cm，
∵AB=4cm，
∴AB+BP=4+3=7cm，
∴t=$\frac{7}{2}$（秒）；
当AD=AP=6时，PB=2t-4，
∵AB²+BP²=AP²，即4²+（2t-4）²=6²，解得t=2+$\sqrt{5}$或t=2-$\sqrt{5}$（舍去），
综上所述，当t=（5±$\sqrt{5}$）秒或t=$\frac{7}{2}$秒时，△APD是等腰三角形；

（3）当2＜t＜5时，点P在BC边上，
∵BP=2t-4，CP=10-2t，
∴AP²=AB²+BP²=4²+（2t-4）²
由题意，有AD²+CP²=AP²
∴6²+（10-2t）²=4²+（2t-4）²
∴t=$\frac{13}{3}$＜5，
∴t=$\frac{13}{3}$．
答：当t=$\frac{13}{3}$秒时，以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，解答此题时要注意进行分类讨论．