Question

8．若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x的两个二次函数y₁，y₂，且y₁=a（x-m）²+4（m＞0），y₁，y₂的“生成函数”为：y=x²+4x+14；当x=m时，y₂=15；二次函数y₂的图象的顶点坐标为（2，k）．
（1）求m的值；
（2）求二次函数y₁，y₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据已知新定义和当x=m时，y₂=15得出15=m²-a（m-m）²+4m+10，求出即可；
（2）把m的值代入函数y₂，根据顶点的横坐标即可求出a，再把a的值代入求出即可．

解答 解：（1）∵y₁=a（x-m）²+4（m＞0），y₁，y₂的“生成函数”为：y=x²+4x+14；
∴y₂=x²+4x+14-a（x-m）²-4=x²-a（x-m）²+4x+10，
∵当x=m时，y₂=15，
∴15=m²-a（m-m）²+4m+10，
解得：m₁=1，m₂=-5（不合题意舍去）；

（2）由（1）得：y₂=x²-a（x-1）²+4x+10=（1-a）x²+（2a+4）x-a+10，
∵二次函数y₂的图象的顶点坐标为（2，k）．
∴-$\frac{2a+4}{2（1-a）}$=2，
解得：a=4，
∴y₁=4（x-1）²+4，y₂=-3x²+12x+6．

点评 本题考查了二次函数的性质，求函数的解析式的应用，能读懂题意是解此题的关键，题目比较典型，有一定的难度．