Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC=10m，BC=16m，现点P从点B出发，沿BC向C点运动，运动速度为$\frac{1}{4}$m/s，若点P的运动时间为t秒，则当△ABP是直角三角形时，时间t的值为32s或50s．

Answer 1

分析 分∠APB与∠PAB两种情况进行分类讨论，当∠APB=90°时，AP⊥BC，根据等腰三角形的性质可得出BP=CP，故可得出t的值；当∠PAB=90°时，过点A作AE⊥BC交BC于点E，由等腰三角形的性质得出BE=CE，用t表示出PE的长，再由勾股定理即可得出结论．

解答 解：如图1，当∠APB=90°时，AP⊥BC，
∵AB=AC，AP⊥BC，
∴BP=CP=$\frac{1}{2}$BC=8cm，
∴$\frac{1}{4}$t=8，解得t=32秒；
如图2，当∠PAB=90°时，过点A作AE⊥BC交BC于点E，
∵AB=AC，AE⊥BC=8，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=8，
∴PE=BP-BE=$\frac{1}{4}$t-8．
在Rt△AEC中，AE²=AC²-CE²，即AE²=10²-8²，解得AE=6cm，
在Rt△PAB中，AP²=BP²-AB²，
在Rt△AEP中，AE²=PE²+AE²，
∴（$\frac{1}{4}$t）²-100=（$\frac{1}{4}$t-8）²+36，解得t=50（秒）．
综上所述，t的值为32秒或50秒．
故答案为：32s或50s．

点评 本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．