Question

18．如图（1），点P、Q分别在x轴、y轴上．

（1）已知点P（3，0），Q（0，4），点M在线段PQ上，直线OM把△POQ分成两个三角形，且这两个三角形的面积的比是2：1．求直线OM的函数解析式；
（2）如图（2），已知P（m，0），Q（0，n）（m＞0，n＞0），反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象与线段PQ交于C、D两点，若S_△POC=S_△COD=S_△DOQ，求n的值．

Answer 1

分析 （1）设点M的坐标为（x，y），根据点P、Q的坐标结合三角形的面积公式可得出点M的坐标，由此即可得出结论；
（2）过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F．由S_△POC=S_△COD=S_△DOQ可得出PC=CD=DQ，即OE=EF=FP，再根据P点的坐标即可得出“OE=$\frac{1}{3}$m，OF=$\frac{2}{3}$m”，设直线PQ的解析式为y=kx+n，由点P（m，0）结合待定系数法求函数解析式即可得出直线PQ的解析式，将反比例函数解析式代入直线解析式中，由根与系数的关系可表示出x₁•x₂，结合OE=$\frac{1}{3}$m、OF=$\frac{2}{3}$m即可求出n的值．

解答 解：（1）结合题意画出图形，如图（1）所示．

设点M的坐标为（x，y）．
则S_△POM=$\frac{1}{2}$y•OP，S_△QOM=$\frac{1}{2}$x•OQ．
点P（3，0），Q（0，4），
∴OP=3，OQ=4．
当S_△POM：S_△QOM=1：2时，有6y=4x，
∴此时直线OM的函数解析式为y=$\frac{2}{3}$x；
当S_△POM：S_△QOM=2：1时，有3y=8x，
∴此时直线OM的函数解析式为y=$\frac{8}{3}$x．
综上知：直线OM的函数解析式为y=$\frac{2}{3}$x或y=$\frac{8}{3}$x．
（2）过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图2所示．

∵S_△POC=S_△COD=S_△DOQ，
∴PC=CD=DQ，即OE=EF=FP，
∵OP=3OE=m，
∴OE=$\frac{1}{3}$m，OF=$\frac{2}{3}$m．
设直线PQ的解析式为y=kx+n，
∵点P（m，0）在直线PQ上，
∴0=km+n，解得：k=-$\frac{n}{m}$，
即直线PQ的解析式为y=-$\frac{n}{m}$x+n．
令-$\frac{n}{m}$x+n=$\frac{m}{x}$，即nx²-mnx+m²=0，
则x₁•x₂=OE•OF=$\frac{{m}^{2}}{n}$=$\frac{1}{3}$m×$\frac{2}{3}$m，
解得：n=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键：（1）结合三角形的面积公式找出点M的坐标；（2）结合根与系数的关系找出关于n的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式求出点的坐标，再由点的坐标结合待定系数法求出函数解析式是关键．