Question

6．对x、y定义一种新运算“P”，规定：P（x，y）=$\frac{ax+by}{3x+y}$（其中a、b均为非零常数），这里等号右边是通常的四则运算．例如：P（0，1）=$\frac{a×0+b×1}{3×0+1}$=b．
（1）已知P（1，-1）=-2，P（4，2）=1．
①求a、b的值；
②关于m的不等式P（3m，14-9m）≥2的非负整数解；
（2）若P（x，y）=P（y，x）对任意x、y都成立（这里的P（x，y）和P（y，x）均有意义），则a、b之间应满足怎样的关系式？

Answer 1

分析 （1）①根据新定义得$\frac{a-b}{3-1}$=-2，$\frac{4a+2b}{12+2}$=1，然后解关于a、b的方程组即可；
②根据新定义得$\frac{3m+5（14-9m）}{9m+14-9m}$≥2，然后解关于m的一元一次不等式，再在解集内找出非负整数即可；
（2）根据新定义得$\frac{ax+by}{3x+y}$=$\frac{ay+bx}{3y+x}$，然后利用分式的性质变形后，因式分解得到（a-3b）（x²-y²）=0，再利用两有理数相乘的性质可得到a与b的关系．

解答 解：（1）①P（1，-1）=$\frac{a-b}{3-1}$=-2，P（4，2）=$\frac{4a+2b}{12+2}$=1，
即$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-4}\\{4a+2b=14}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=5}\end{array}\right.$；
②根据题意得$\frac{3m+5（14-9m）}{9m+14-9m}$≥2，
即3m+5（14-9m）≥28，
去括号、移项得3m-45m≥28-70，
合并得-42m≥-42
系数化为1得m≤1，
所以不等式的非负整数解为0，1；
（2）根据题意得$\frac{ax+by}{3x+y}$=$\frac{ay+bx}{3y+x}$，
整理得（a-3b）（x²-y²）=0，
因为对任意x、y都成立，
所以a-3b=0，即a=3b．

点评 本题考查了一元一次不等式的整数解：解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．解决本题的关键是对新定义的理解．