如图1.在直角坐标系中.点B(a.b)在第一象限.且$\sqrt{a-4}$+b2-8b+16=0.过B作x轴.y轴的垂线分别交于A.C．(1)求B的坐标和四边形OABC的面积．(2)直线y=2x+8交x轴于E.交y轴于F.它沿x轴正方向以每秒移动1个单位的速度.设平移的时间为t秒.问是否存在t的值.使直线EF平分四边形OABC的面积?若存在.求t的值,若不存在.说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．如图1，在直角坐标系中，点B（a，b）在第一象限，且$\sqrt{a-4}$+b²-8b+16=0，过B作x轴，y轴的垂线分别交于A、C．

（1）求B的坐标和四边形OABC的面积．
（2）直线y=2x+8交x轴于E，交y轴于F，它沿x轴正方向以每秒移动1个单位的速度，设平移的时间为t秒，问是否存在t的值，使直线EF平分四边形OABC的面积？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．
（3）如图2，P为正方形OABC的多角线AC上的点（端点A，C除外），PM⊥PO，交直线AB于M，问$\frac{PC}{BM}$的值是否不变？请给出结论，予以证明并求其值．

分析（1）根据线段的中点坐标求法求解．
（2）E点的坐标为（-4，0），当直线EF平移到过D点时正好平分正方形AOBC的面积，设平移后的直线为y=2x+b，代入D点坐标，求得b=-2．可知平移的距离为5，所以t=5；
（3）过P点作NQ∥OA，GH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，易证△OPH≌△MPQ，四边形CNPG为正方形．可知PG=BQ=CN，即可求得$\frac{PC}{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答解：（1）∵且$\sqrt{a-4}$+b²-8b+16=$\sqrt{a-4}$+（b-4）²=0，
∴a-4=0，且b-4=0，
即a=4，b=4．
点B的坐标为（4，4）．
∴OA=AB=BC=CO=4，
∴四边形OABC的面积S=OA•AB=4×4=16．
（2）当y=0时，x=-4，
∴E点的坐标为（-4，0）．
当直线EF平移到过D点时正好平分正方形AOBC的面积．
设平移后的直线为y=2x+b，代入D点坐标，求得b=-2．
此时直线和x轴的交点坐标为（1，0），平移的距离为5，所以t=5秒．
（3）过P点作NQ∥OA，GH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，
在△OPH与△MPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=PM}\\{PH=PQ}\end{array}\right.$，
∴△OPH≌△MPQ，四边形CNPG为正方形．
∴PG=BQ=CN．
∴$CP=\sqrt{2}PG=\frac{\sqrt{2}}{2}PM$，即$\frac{PC}{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．