Question

15．如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧$\widehat{BD}$的中点，AC交BD于点E，AE=2，EC=1．
（1）求证：△DEC∽△ADC；  
（2）求⊙O的直径；
（3）延长AB到H，使BH=OB．求证：CH是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理，由$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$得到∠CDB=∠DAC，则根据相似三角形的判定方法可判断△DEC∽△ADC；
（2）由△DEC∽△ADC，利用相似比可计算出CD=$\sqrt{3}$，再证明△DEC∽△BEA，然后利用相似比可计算出AB=2$\sqrt{3}$；
（3）连结OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，再利用正弦定义可求出∠ABC=60°，则△OBC为等边三角形，所以BC=OB，于是有BC=BH=BO，则可判断△OCB为直角三角形，即∠OCH=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵C是劣弧$\widehat{BD}$的中点，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，
∴∠CDB=∠DAC，
而∠DCE=∠ACD，
∴△DEC∽△ADC；
（2）解：∵△DEC∽△ADC，
∴CD：AC=CE：CD，即CD：3=1：CD，
∴CD=$\sqrt{3}$，
∵∠BDC=∠BAC，∠DCA=∠DBA，
∴△DEC∽△BEA，
∴CD：AB=CE：AE，即$\sqrt{3}$：AB=1：2，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
即⊙O的直径为2$\sqrt{3}$；
（3）证明：连结OC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ABC=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴BC=OB，
而BH=OB，
∴BC=BH=BO，
∴△OCB为直角三角形，即∠OCH=90°，
∴OC⊥CH，
∴CH是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；要证某线是圆的∠切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．