Question

4．给出如下两个方程，方程ax²-x-1=0①；方程a（ax²-1）²-x-1=0②；
（1）证明方程①的实根都是方程②的实根；
（2）如果方程①和②的实根相同，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：当a=0，它们的解都为1；当a≠0时，若方程①有实数解，由①得ax²-1=x，把ax²-1=x代入②得ax²-x-1=0，于是得到它们的解一样，然后综合两种情况即可；
（2）根据判别式的意义得到a≥-$\frac{1}{4}$．

解答 解：（1）当a=0，方程①变形为-x-1=0，解得x=-1；
方程②变形为-x-1=0，解得x=-1，它们的解相同；
由①得ax²-1=x，把ax²-1=x代入②得ax²-x-1=0，它们有相同的解，
∴方程①的实根都是方程②的实根；

（2）由（1）得：方程①的实根都是方程②的实根，
则△=1+4a≥0，解得a≥-$\frac{1}{4}$，
所以a的取值范围为a≥-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．