Question

14．已知抛物线y=-x²+ax+b的顶点M（1，4），与x轴的一个交点A（3，0）．
（1）求a，b的值；
（2）若此抛物线与x轴的另一个交点为B，求过点B、M的直线方程；
（3）设抛物线与y轴的交点为C，问在抛物线上是否存在点P，使平行四边形PBAE的面积是△CMB面积的8倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点坐标公式即可得到结果；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x²+2x+4，令y=0时，则-x²+2x+4=0，解得B（-1，0），把点B，M的坐标代入直线解析式即可得到结果；
（3）求出抛物线与y轴的交点C的坐标，根据平行四边形PBAE的面积是△CMB面积的8倍列方程求出点P的纵坐标，然后代入抛物线的解析式即可得到结果．

解答 解：（1）由y=-x²+ax+b=-${（x-\frac{a}{2}）}^{2}$+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∵抛物线y=-x²+ax+b的顶点M（1，4），
∴-$\frac{a}{2}$=1，b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=4，
解得：a=2，b=3；

（2）由（1）知抛物线的解析式为：y=-x²+2x+4，
令y=0时，则-x²+2x+4=0，解得B（-1，0），
设直线BM的解析式为：y=kx+n
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+n}\\{4=k+n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴过点B、M的直线方程为y=2x+2．

（3）∵抛物线与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
令y=2x+2与y轴的交点为N，则点N（0，2），
∴S_△BCM=S_△BCN+S_△MNC，
=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}×1×1=1$，
设点P的坐标为（x，y），平行四边形PBAE的面积为S．
∵S=8S_△BCM，
∴AB×|y_P|=8×1，
∴|y_P|=2，y_P=±2．
令2=-x²+2x+3，解得x=1$±\sqrt{2}$
令-2=-x²+2x+3，解得x=1$±\sqrt{6}$
∴满足条件的点p存在，且其为（1-$\sqrt{2}$，2），（1+$\sqrt{2}$，2），（1-$\sqrt{6}$，-2），（1+$\sqrt{6}$，-2）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形和平行四边形面积的求法，求点的坐标，正确识图是解题的关键．