Question

20．操作：小明准备制作棱长为1cm的正方形纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：
纸片利用率=$\frac{纸片被利用的面积}{纸片的总面积}$×100%
发现：

（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点，你认为小明的发现是否正确？请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅为38.2%，请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：
（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计，即方案三，请直接写出方案三的利用率．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BC、AB，由AC=BC=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{10}$，根据勾股定理的逆定理，即可求得∠BAC=90°，又由90°的圆周角所对的弦是直径，则可证得AB为该圆的直径；
（2）首先证得△ADE≌△EHF与△ADE∽△ACB，即可求得AD与BC的长，求得△ABC的面积，即可求得该方案纸片利用率；
（3）利用方案（2）的方法，分析求解即可求得答案．

解答 解：发现：（1）小明的这个发现正确．
理由：
解法一：如图1，

连接AC、BC、AB，
∵AC=BC=$\sqrt{10}$，AB=2$\sqrt{5}$
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠BCA=90°，
∴AB为该圆的直径．
解法二：如图2，

连接AC、BC、AB．
易证△AMC≌△BNC，
∴∠ACM=∠CBN．
又∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，
即∠BCA=90°，
∴AB为该圆的直径．
 （2）如图3，

∵DE=FH，DE∥FH，
∴∠AED=∠EFH，
∵∠ADE=∠EHF=90°，
∴△ADE≌△EHF（ASA），
∴AD=EH=1．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{CB}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{2}{CB}$，
∴BC=8，
∴S_△ACB=16．
∴该方案纸片利用率=$\frac{展开图的面积}{纸板的总面积}$×100%=×100%=37.5%；
探究：
（3）如图4，

过点C作CD⊥EF于D，过点G作GH∥AC，交BC于点H，
设AP=a，
∵PQ∥EK，
∴△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，
∴$\frac{AP}{AQ}=\frac{AQ}{EK}$=$\frac{1}{2}$，
∴AQ=2a，PQ=a$\sqrt{5}$，
∴EQ=5a，
∵EC：ED=QE：QK，
∴EC=$\frac{5}{2}$a，
则PG=5a+$\frac{5}{2}$a=$\frac{15}{2}$a，GL=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$a，
∴GH=$\frac{25}{8}$a，
∵$\frac{GH}{2a+5a+\frac{5}{2}a}=\frac{GB}{GB+\frac{15}{2}a+a}$，
解得：GB=$\frac{25}{6}$a，
∴AB=$\frac{38}{3}$a，AC=$\frac{19}{2}$a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC=$\frac{361}{6}$a²，
S_{展开图面积}=6×5a²=30a²，
∴该方案纸片利用率=$\frac{展开图的面积}{纸板的总面积}$×100%=$\frac{180}{361}$×100%=49.86%．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，圆周角的性质，解本题的关键是用相似和全等，勾股定理表示线段．