Question

3．已知y-4与x成正比例，且 x=6 时，y=-4．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）设点P在y轴上，（1）中的函数图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A、B、P为顶点的等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据正比例函数的定义设y-4=kx，然后把x=6，y=-4代入计算，求出k的值即可．
（2）根据直线的解析式得到A和B的坐标，进而得到OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长，根据题意可分3种情况考虑，写出P的坐标即可．

解答 解：（1）设y-4=kx，
把x=6，y=-4代入得6k=-4-4，解得k=-$\frac{4}{3}$，
所以y关于x的函数表达式为y=-$\frac{4}{3}$x+4．
（2）一次函数y=-$\frac{4}{3}$x+4中令x=0，解得y=4；令y=0，解得x=3，
∴A（3，0），B（0，4），
在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
分四种情况考虑，如图所示：
当BP=BA时，此时P₁（0，9），P₂（0，-1）；
当AB=AP时，此时P₃（0，-4）；
当PA=PB时，此时M₄（0，$\frac{7}{8}$）．
综上，这样的P点有4个，p₁（0，9）p₂（0，-1）p₃（0，-4）p₄ （0，$\frac{7}{8}$）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，以及一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合及分类讨论的思想，在分类讨论分情况解决数学问题时，必须认真审题，全面考虑，做到不重不漏．