Question

11．如图，抛物线y=x²-3x+$\frac{5}{4}$与x轴相交A、B两点，与y轴相交于点C，D是直线BC下方的抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E．
（1）求直线BC对应的函数解析式；
（2）当线段DE的长度最长时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）设D坐标为（m，m²-3m+$\frac{5}{4}$），则点E坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{4}$），设DE的长为d，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）对于抛物线y=x²-3x+$\frac{5}{4}$，令y=0，得x²-3x+$\frac{5}{4}$=0，解得x=$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$，
∴A（$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{5}{2}$，0），
令x=0，得y=$\frac{5}{4}$，
∴C（0，$\frac{5}{4}$）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}k+b=0}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{4}$．

（2）设D坐标为（m，m²-3m+$\frac{5}{4}$），
∴点E坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{4}$），设DE的长为d，
∵D是直线BC下方的一点，
∴d=（-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{4}$）-（m²-3m+$\frac{5}{4}$）=-m²+$\frac{5}{2}$m=-（m-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{25}{16}$，
∴当m=$\frac{5}{4}$时，线段DE的长度最长，此时D（$\frac{5}{4}$，-$\frac{15}{16}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．