Question

11．如图，⊙O₁与⊙O₂外切于P点，过P的直线分别交两圆于A、B，AD切⊙O₂于D，AD交⊙O₁于C，己知PC=2，PB=8，求PD的长．

Answer 1

分析 作⊙O₁与⊙O₂的公切线交AD于M，由弦切角定理得出∠MPC=∠A，∠MPD=∠B，∠CDP=∠B，得出∠CDP=∠MPD，由三角形的外角性质得出∠BPD=∠DPC，证出△BPD∽△DPC，得出对应边成比例，即可得出结果．

解答 解：作⊙O₁与⊙O₂的公切线交AD于M，如图所示：
则∠MPC=∠A，∠MPD=∠B，
∵AD切⊙O₂于D，
∴∠CDP=∠B，
∴∠CDP=∠MPD，
∵∠BPD=∠A+∠CDP，
∴∠BPD=∠DPC，
∴△BPD∽△DPC，
∴PD：PC=PB：PD，
∴PD²=PC•PB=2×8=16，
∴PD=$\sqrt{16}$=4．

点评 本题中考查了相切两圆的切线性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握相切两圆的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．