Question

2．观察与探究：

（1）观察图形，填写下表：

图形	（1）	（2）	（3）
正方形的个数	2	5	9
图形的周长	8	12	16

（2）推测第n个图形中，正方形的个数为$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，周长为4n+4．

Answer 1

分析 （1）根据已知图形可以计算出图形（2）图形（3）的正方形个数、图形周长；
（2）观察（1）的规律，发现正方形个数可以利用等差数列加图形序号表示，而图形周长则可以通过图形四个方向线段和求解；

解答 解：（1）正方形个数可以根据图形得出；
图形的周长可以根据图形四个方向计算得出；
故答案为：5，9，12，16．

（2）通过观察发现以下规律：
图形1，正方形个数：1+1，
图形2，正方形个数：1+2+2，
图形3，正方形个数：1+2+3+3，
图形4，正方形个数：1+2+3+4+4，
∴根据以上规律：
图形n，正方形个数：1+2+3+4+5+…+n+n=$\frac{（1+n）n}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$；
通过观察图形从图形四个方向观察图形周长：
图形1，图形的周长：2+2+2+2，
图形2，图形的周长：3+3+3+3，
图形3，图形的周长：4+4+4+4，
图形4，图形的周长：5+5+5+5，
∴根据以上规律：
图形n，图形的周长：n+1+n+1+n+1+n+1=4n+4，
故答案为：$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，4n+4．

点评 题目考查了图形的变化类，属于规律型题目求解，解决此类问题一定要找到图形序号与待求关系量之间的关系，另外掌握等差数列的求和公式对学生解决此类问题有很大帮助．