Question

11．如图1，直线y=2x-2与曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）相交于点A（2，n），与x轴、y轴分别交于点B、C．
（1）求曲线的解析式；
（2）试求AB•AC的值？
（3）如图2，点E是y轴正半轴上一动点，过点E作直线AC的平行线，分别交x轴于点F，交曲线于点D．是否存在一个常数k，始终满足：DE•DF=k？如果存在，请求出这个常数k；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先把A代入直线解析式求得A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数解析式；
（2）首先求得A和B的坐标，过A作AM⊥x轴于点M，然后利用勾股定理求得AB和BC的长，则AB和AC的长即可求得，则两线段的乘积即可求得；
（3）过点D作DN⊥x轴于点N．过点E作EG⊥DN于点G，易证△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答 解：（1）∵直线y=2x-2经过点A（2，n），
∴n=2×2-2=2，即A的坐标是（2，2），
把（2，2）代入y=$\frac{m}{x}$得m=4，
则反比例函数的解析式是y=$\frac{4}{x}$（x＞0）；
（2）过A作AM⊥x轴于点M．
在y=2x-2中，令x=0解得y=-2，则C的坐标是（0，-2），令y=0，则2x-2=0，解得x=1，则B的坐标是（1，0）；
则AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
则AB•AC=$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=10；
（3）存在常数k，过点D作DN⊥x轴于点N．过点E作EG⊥DN于点G，则∠AMB=∠DNF=∠DGE=90°，
设D的坐标是（a，$\frac{4}{m}$），则EG=a，DN=$\frac{4}{m}$，
∵DF∥AC，EG∥FN，
∴∠ABM=∠DFG=∠DEG，
∴△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，
∴$\frac{DF}{DN}$=$\frac{AB}{AM}$，有DF：$\frac{4}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，则DF=2$\sqrt{5}$a，
又$\frac{AB}{BM}$=$\frac{ED}{EG}$，有$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\frac{EG}{a}$，则ED=$\sqrt{5}$a，
于是，DE•DF=$\sqrt{5}$a•$\frac{2\sqrt{5}}{a}$=10．
即存在常数k=10．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造相似三角形是关键．