Question

17．如图1，已知⊙O的半径为1，∠PAQ的正切值为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，AQ是⊙O的切线，将⊙O从点A开始沿射线AQ的方向滚动，切点为A'．
（1）sin∠PAQ=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，cos∠PAQ=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$；
（2）①如图1，当⊙O在初始位置时，圆心O到射线AP的距离为$\frac{2\sqrt{39}}{13}$；
②如图2，当⊙O的圆心在射线AP上时，AA'=2$\sqrt{3}$．
（3）在⊙O的滚动过程中，设A与A'之间的距离为m，圆心O到射线AP的距离为n，求n与m之间的函数关系式，并探究当m分别在何范围时，⊙O与射线AP相交、相切、相离．

Answer 1

分析 （1）依据锐角三角函数的定义可求得sin∠PAQ、cos∠PAQ的值；
（2）①过点O作OB⊥AP，垂足为B．依据同角的余角相等可证明∠AOB=∠QAP，然后依据锐角三角函数的定义可求得OB的长；②连接OA′．由切线的性质可知∠OA′A=90°，接下来，依据锐角三角函数的定义可求得AA′的长；
（3）当0＜m＜2$\sqrt{3}$时，如图3所示：连接OA′，过点O作OH⊥AP，垂足为H．在Rt△OGH中，在Rt△AA′G中，依据锐角三角函数的定义可得到OG=$\frac{\sqrt{39}}{6}$n、GA′=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m，然后依据OG+GA′=1可得到n与m之间的函数关系式；当m＞2$\sqrt{3}$时，如图2所示，过点O作OH⊥AP，垂足为H，连接A′O并延长交AP与点G．依据锐角三角函数的定义可知OG=$\frac{\sqrt{39}}{6}$n，GA′=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m，由GA′-OG=1可得到n与m之间的函数关系式；接下来，依据d和r的关系可求得当直线AP与⊙O相切，相交、相离时m的取值范围．

解答 解：（1）∵∠PAQ的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴sin∠PAQ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{6}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，cos∠QAQ=$\frac{6}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{6}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{13}$，$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
（2）①如图1所示：过点O作OB⊥AP，垂足为B．

∵AQ是⊙O的切线，
∴OA⊥AQ．
∴∠OAP+∠PAQ=90°．
∵OB⊥AP，
∴∠OAP+∠AOB=90°．
∴∠AOB=∠PAQ．
∴$\frac{OB}{OA}$=cos∠PAQ=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
∵OA=1，
∴OB=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
∴圆心O到射线AP的距离为 $\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
②如图2所示：连接OA′．

∵⊙O与AQ相切，
∴OA′⊥AQ．
∴∠OA′A=90°．
∴$\frac{OA′}{AA′}$=tan∠A．
∴AA′=2 $\sqrt{3}$．
故答案为：2 $\sqrt{3}$．

（3）当0≤x≤2 $\sqrt{3}$时，如图3所示：连接OA′，过点O作OH⊥AP，垂足为H．


∵在Rt△OGH中，cos∠O=$\frac{OH}{OG}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$，
∴OG=$\frac{\sqrt{39}}{6}$n．
∵在Rt△AA′G中，tan∠A=$\frac{GA′}{AA′}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴GA′=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m，．
∵OG+GA′=1，
∴$\frac{\sqrt{39}}{6}$n+$\frac{\sqrt{3}}{6}$m=1，．
∴n=-$\frac{\sqrt{13}}{13}$m+$\frac{\sqrt{39}}{39}$．
②当x＞2 $\sqrt{3}$时，如图2所示，过点O作OH⊥AP，垂足为H，连接A′O并延长交AP与点G．

∵∠HGO=∠AGA′，∠GA′A=∠OHD=90°，
∴∠HOG=∠PAQ．
∴OG=$\frac{\sqrt{39}}{6}$n，GA′=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m．
由GA′-OG=1得，n=$\frac{\sqrt{13}}{13}$m-$\frac{\sqrt{39}}{39}$．
综上所述，n与m的函数关系式为n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{13}}{13}m+\frac{\sqrt{39}}{39}}&{（0≤m≤2\sqrt{3}）}\\{\frac{\sqrt{13}}{13}m-\frac{\sqrt{39}}{39}}&{（m＞2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$．
∵当n=1时，⊙O与AP相切，此时$\frac{\sqrt{13}}{13}$m-$\frac{\sqrt{39}}{39}$=1，解得m=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{13}$，
∴当0≤m＜2$\sqrt{3}$+$\sqrt{13}$时，⊙O与AN相交，
当m=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{13}$时，⊙O与AN相切；
当m＞2$\sqrt{3}$+$\sqrt{13}$时，⊙O与AN相离．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质、直线和圆的位置关系、锐角三角函数的定义，依据OA′=1列出n与m的函数关系式是解题的关键．