Question

19．如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}（k＞0$，x＞0）的图象上，且AB=3，BC=8．若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）当t=1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AB与BC的长，且B为第一象限角，确定出B的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）运动1秒时，在y轴上存在点D，使△DEF的周长最小，理由为：作出E关于y轴的对称点E′，连接E′F，与y轴交于点D，连接DE，EF，此时△DEF周长最小，求出周长最小值即可；
（3）存在，若四变形BEMF为平行四边形，则有三种可能，已知E（t，8），F（3，8-2t），0＜t≤3．
①BE∥FM，此时M在F右侧，$M（{\frac{24}{8-2t}，8-2t}）$，结合BE=FM，列出关于t的方程，解方程即可；
②BF∥EM，此时M在E正上方，$Mt（{t，\frac{24}{t}}）$，结合ME=BF，列出关于t的方程，解方程即可；
③EF∥BM，易知点M一定不在反比例函数上．

解答 解：（1）由题可知点B的坐标为（3，8），且点B在$y=\frac{k}{x}$上．
∴k=3×8=24，
∴反比例函数的表达式为：$y=\frac{24}{x}$．

（2）t=1时，E（1，8），F（3，6），则$EF=2\sqrt{2}$，
取E关于y轴的对称E′（-1，8），
连接E′F，${E^′}F=2\sqrt{5}$，${C_{△DEF}}=DE+DF+EF=2\sqrt{2}+D{E^′}+DF≥2G+{E^′}F$，
∴${C_{△DEFmin}}=2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$，
此时点D为E′F与y轴交点，
∵E′（-1，8），F（3，6），
设E′F：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}-k+b=8\\ 3k+b=6\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{15}{2}\end{array}\right.$，
∴${E^′}F：y=\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}$，
∴此时$D（{0，\frac{15}{2}}）$，
即：y轴上存在点$D（{0，\frac{15}{2}}）$，使△DEF的图长数小，且最小值为$2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$．

（3）存在，若四变形BEMF为平行四边形，则有三种可能，已知E（t，8），F（3，8-2t），0＜t≤3．
①BE∥FM，此时M在F右侧，$M（{\frac{24}{8-2t}，8-2t}）$，
又∵BE=FM，
∴$3-t=\frac{24}{8-2t}-3$，t²-10t+12=0，
解得${t_1}=5-\sqrt{13}$，${t_2}=5+\sqrt{13}$（舍）．
②BF∥EM，此时M在E正上方，$Mt（{t，\frac{24}{t}}）$，
∵ME=BF，
∴$\frac{24}{t}-8=2t$，t²+4t-12=0，
解得t₁=2，t₂=-6（舍）．
③EF∥BM，易知点M一定不在反比例函数上，
故综上：t=2或$5-\sqrt{13}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，平行四边形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．