Question

15．如图，在平行四边形ABCD中，BC=6cm，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，BC边的对应边CE与AD边交于点F，此时△CDF为等边三角形．
（1）求AB的长．
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）首先根据等边三角形的性质可得DF=DC=FC，∠D=60°，根据折叠的性质，∠BCA=∠ECA，再利用平行四边形的性质证明∠DAC=30°，∠ACD=90°，利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得CD长，进而可得AB的长；
（2）利用三角函数值计算出AC，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ACD，进而可得答案．

解答 解：（1）∵△CDF为等边三角形，
∴DF=DC=FC，∠D=60°，
根据折叠的性质，∠BCA=∠ECA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6cm，AB=CD，
∴∠FAC=∠BCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ACD=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD=3cm，
∵AB=3cm；

（2）∵CD=3cm，∠ACD=90°，∠DAC=30°，
∴AC=3$\sqrt{3}$cm，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ACD=$\frac{1}{4}$×AC•CD=$\frac{1}{4}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$（cm²）．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．