题目内容

1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，点 O为射线AC上动点，动圆⊙O始终与射线AB相切，研究⊙O与菱形ABCD各边交点总个数的情况，以下论述正确的是（　　）
①最少有1个交点；
②最多有6个交点；
③共有6种不同的情况；
④有2个交点时，$0＜AO＜\sqrt{3}$；
⑤有3个交点时，$AO=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
A．①②⑤B．②C．①③④D．②④⑤

分析 根据题意画出⊙O与菱形ABCD各边交点的情况图形，得出①③错误，②正确；求出有2个交点时，OA的取值范围，得出④错误；求出有3个交点时，AO的长，得出⑤错误；即可得出结论．

解答 解：根据题意得出⊙O与菱形ABCD各边交点的情况图：
最少有2个交点，最多有6个交点，
共有7种不同的情况，
∴①③错误，②正确；
有2个交点时，
如图1和图7所示，
在图2中，O为菱形对角线的交点，
∴∠AOD=90°，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAO=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴OA=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴在图1中，0＜OA＜$\sqrt{3}$；
而在图7中，OA＞2$\sqrt{3}$，
∴④错误；
有3个交点时，
如图4和图6所示，
在图4中，连接OD，
则∠ADO=90°，OA=$\frac{AD}{cos30°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
而在图6中，
OA=2AC=4$\sqrt{3}$；
∴⑤错误；
故选：B．














点评 本题是圆的综合题目，考查了切线的性质、菱形的性质、勾股定理、三角函数等知识；根据题意画出⊙O与菱形ABCD各边交点的情况图形是解决问题的关键．

练习册系列答案
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（2）已知点C（4，0），在函数y=2x-4（其中x＜2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k=2，求点D的坐标．
（3）已知点E（3，2），在直线y=x+1上有一点F（5，a）和一动点P，若△PEF的投影比1＜k＜2，则点P的横坐标m的取值范围1＜m＜3或m＞5（直接写出答案）．
18．解方程：10+4（x-3）=2x+4．
15．如图，在平行四边形ABCD中，BC=6cm，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，BC边的对应边CE与AD边交于点F，此时△CDF为等边三角形．
（1）求AB的长．
（2）求图中阴影部分的面积．
2．化简$\sqrt{8}$的结果是（　　）
A．$\sqrt{2}$B．2$\sqrt{2}$C．3$\sqrt{2}$D．4$\sqrt{2}$
6．数学老师布置了这样一道作业题：
在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．
小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．

（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；
（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；
（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°，α-β=120°（直接写出结果）．
13．图1、图2是两种形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
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②图2中组成的新图案只是旋转对称图形，不是中心对称图形；
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11．操作题
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