Question

11．如图，已知半径为4的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（4＜x＜8）
（1）当x=5时，求弦PA、PB的长度；
（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得AB⊥l，则AB∥PC，所以∠CPA=∠PAB，再根据AB为⊙O的直径得到∠APB=90°，则可判断△PCA∽△APB，利用相似比可计算出AP=2$\sqrt{10}$，然后利用勾股定理可计算出PB=2$\sqrt{6}$；
（2）如图，过O作OE⊥PD，垂足为E，根据垂径定理得到PF=FD，易得四边形OECA为矩形，则CE=OA=4，所以PE=ED=x-4，接着表示出PD和CD，则PD•PC=2（x-4）•（8-x）=-2（x-6）²+8，然后根据二次函数的性质求解．

解答 解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，
∴AB⊥l，
又∵PC⊥l，
∴AB∥PC，
∴∠CPA=∠PAB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PCA=∠APB，
∴△PCA∽△APB，
∴PC：AP=AP：AB，即5：AP=AP：8，
∴AP=2$\sqrt{10}$，
在Rt△APB中，PB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{P}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
（2）如图，过O作OE⊥PD，垂足为E，
∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，
∴PF=FD，
在矩形OECA中，CE=OA=4，
∴PE=ED=x-4，
CD=PC-PD=x-2（x-4）=8-x，
∴PD•PC=2（x-4）•（8-x）=-2x²+24x-64=-2（x-6）²+8，
∵4＜x＜8，
∴当x=6时，PD•CD的值最大，最大值为8．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质和二次函数的性质．